Le nombre ?

Le nombre ? est connu depuis l’antiquité (dans la Bible en 550 avant J.C. et 1200 ans avant J.C. en chine), certainement pas comme nous l’entendons aujourd’hui, mais comme le rapport entre la longueur du cercle et son diamètre. c’est une méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l’aire du disque).

p = 2 \times \pi \times r   ou   A = \pi\times r \times r

Archimède de Syracuse, mathématicien du IIIe siècle avant Jésus-Christ, essaya d’affiner la détermination de ?, en entourant un cercle par des polygones intérieur et extérieur.

Le nombre ? est un nombre irrationnel, c’est à dire que l’on ne peut pas connaître toutes ses décimales. Quelques décimales suffisent en générale pour les calculs (3,141592654 c’est la valeur donnée par ma calculatrice). Mais les mathématiciens, et les informaticiens testent leurs algorithmes (recette à suivre pour effectuer un calcul) pour déterminer toujours plus de décimales.

Les 100 premières décimales du nombre ?

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067
Il existe de nombreuses formules permettant de donner une approximation du nombre ? :

\pi \approx 3+\dfrac{1}{7} c’est à dire que \pi \approx \dfrac{22}{7}

(Cette approximation donne les 3 premières décimales de ?)

\pi \approx 3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15}} c’est à dire que \pi \approx \dfrac{333}{106}

(Cette approximation donne les 5 premières décimales de ?)

\pi \approx\sum_{k=0}^{\infty}(\dfrac{2k+2}{2k+1}\times \dfrac{2k+2}{2k+3}) (formule de Wallis)

\pi \approx\dfrac{9801}{2\sqrt{2}\times \sum_{k=0}^{\infty}(\dfrac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}(396^{4k})})} (formule de Ramanunjan)

\pi \approx4-\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{9} (formule mise en évidence par le mathématicien écossais Grégory)

\pi^{2} \approx6-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{9} (formule d’Euler)

Il existe une poésie qui permet en comptant les lettres des mots de connaître les décimales du nombre ?

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur
Qui de ton jugement peut priser le valeur
Pour moi ton problème eut de sérieux avantages.

Enfin voici l’œuvre de l’artiste contemporain François Morellet qui illustre quelques décimales du nombre ?.


 

Bien sûr il existe de nombreuses autres formules donnant une valeur approchée de ?.

 

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