Correction exercice n°4 du sujet n°1

Exercice n°4 (retour au sujet)
Démontrer, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant les informations fournies.

figure n°1

figure n°1

On sait que BC^{2}=50^{2}=2500 et que AC^{2}+BA^{2}=40^{2}+30^{2}=1600+900=2500
Donc AC^{2}+BA^{2}=BC^{2}
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

figure n°2

figure n°2

On sait que (DE) // (AC) et que (DE) \bot (AD)
Or si deux droites sont parallèles entre elles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Donc (AD) \bot(AC)
Donc le triangle ABC est rectangle en A.

figure n°3

figure n°3

Les angles \widehat{ABC} et \widehat{AEC} sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc \overset{\frown}{AC}.
Donc \widehat{ABC}=\widehat{AEC}, or \widehat{AEC}= 50°
Donc \widehat{ABC}=50°
De plus,
On sait que dans le triangle ABC, \widehat{ACB}=40° et \widehat{ABC}=50°
La somme des angles d’un triangle étant de 180°, alors \widehat{BAC}=180-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}=180-40-50=90°
Donc le triangle ABC est rectangle en A

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