Correction du sujet de brevet n°3

Voici la correction d’un sujet de brevet des collèges de Juin 2005.
(retour au sujet)


Première partie (activités numériques).


Exercice n°1 :
Soit A=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{9}{4} et B=\sqrt{45}-12\sqrt{5}.

1°) Calculer A, et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

A=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7\times 9}{3\times 4}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{63}{12}=\dfrac{5\times 4}{3\times 4}-\dfrac{63}{12}=\dfrac{20}{12}-\dfrac{63}{12} A=\dfrac{20}{12}-\dfrac{63}{12}=\dfrac{20-63}{12}=\dfrac{-43}{12}

2°) Écrire B= sous la forme a\sqrt{5} ou a est un nombre relatif.

B=\sqrt{45}-12\sqrt{5}=\sqrt{9\times 5}-12\sqrt{5}=\sqrt{9}\times \sqrt{5}-12\sqrt{5}=3\times \sqrt{5}-12\sqrt{5} B=-9\sqrt{5}

Exercice n°2 :

On donne l’expression A=(2x-3)^{2}-(4x+7)(2x-3)

1°) Développer et réduire l’expression A

A=(2x)^{2}-2\times 2x \times 3+3^{2}-(4x\times 2x+4x\times (-3)+7\times 2x+7\times (-3)) A=4x^{2}-12x+9-(8x^{2}-12x+14x-21)=4x^{2}-12x+9-8x^{2}+12x-14x+21 A=-4x^{2}-14x+30

2°) Factoriser A.

A=(2x-3)^{2}-(4x+7)(2x-3)=(2x-3)[(2x-3)-(4x+7)] A=(2x-3)[2x-3-4x-7]=(2x-3)(-2x-10)

3°) Résoudre l’équation (2x-3)(-2x-10)=0

(2x-3)(-2x-10)=0 est une équation produit nul, or un produit est nul si un de ses facteurs est nul.

Soit 2x-3=0, c’est à dire x=\dfrac{3}{2}=1,5

Soit -2x-10=0, c’est à dire x=\dfrac{10}{-2}=-5

Donc -5 et 1,5 sont les deux solutions de cette équation.

Exercice n°3 :

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.
1°) Calculer le nombre de tartelettes.

Le pâtissier doit utiliser toutes les fraises et toutes les framboises pour faire ses tartelettes. On cherche donc un nombre (le nombre de tartelettes) qui divise en même temps 411 et 685. Ce nombre doit être le plus grand possible. On cherche donc le PGCD de 685 et 411.

685=411\times 1 + 274 411=274\times 1 + 137 274=137\times 2 + 0

Donc le PGCD de 685 et 411 est 137. Le pâtissier pourra faire au maximum 137 tartelettes.

2°) Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.

685:137=5 et 411:137=3

Donc dans chaque tartelette il y aura 5 fraises et 3 framboises.

Exercice n°4 :

Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades. La première fois, elle achète 5 crayon et 2 gommes pour 10,90 €. La seconde fois, elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 €. En utilisant un système d’équations, aider l’élève de CP à retrouver le prix de chaque article.

Soit c, le prix d’un crayon, et g, le prix d’une gomme.

La phrase « elle achète 5 crayon et 2 gommes pour 10,90 € » se traduit par l’équation n° 1 suivante : 5c+2g=10,9.

La phrase « elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 € » se traduit par l’équation n° 2 suivante : 8c+3g=17,2.

Ces deux équations forment un système d’équations.

Pour résoudre ce système, on multiplie la 1ere équation par 3, ce qui donne 15c+6g=32,7, puis on multiplie la 2e équation par 2, ce qui donne 16c+6g=34,4, on soustrait ces deux ligne 15c+6g-16c-6g=32,7-34,4, ce qui donne -c=-1,7. Donc c=1,7. Puis on remplace c par 1,7 dans l’équation n°1 ce qui donne 5\times 1,7+2g=10,9 d’où g=\dfrac{10,9-8,5}{2}=1,2.

La solution de ce système est le couple (1,7;1,2). Donc le prix d’un crayon est de 1,70 € et celui d’une gomme est de 1,20 €.


Deuxième partie (activités géométriques).


Exercice n°4 :

Un terrain de football OABC est de forme rectangulaire.
1°) Calculer la longueur de la diagonale [AC] représentée en pointillés (arrondir à l’unité).
Dans le triangle OAC rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore
AC^{2}=AO^{2}+OC^{2}
AC^{2}=50^{2}+100^{2}=2500+10000=12500
AC=\sqrt{12500} \approx 112 m
2°) Dans le triangle OAC, écrire tan \alpha en fonction de AO et OC.
Dans ce même triangle OAC
tan \alpha =\dfrac{AO}{OC}
3°) Calculer tan \alpha. En déduire à la valeur de l’angle \alpha en degré (arrondir à 0,1).
tan \alpha =\dfrac{50}{100}=0,5 d’où \alpha \approx 26,6°
4°) Dans le triangle OAC, écrire cos \alpha en fonction de OC et AC.
cos \alpha = \dfrac{OC}{AC}
5°) A partir de l’expression de cos \alpha précédente, en déduire la longueur de la diagonale [AC] (arrondir à l’unité).
AC = \dfrac{OC}{cos \alpha} \approx \dfrac{100}{cos 26,6} \approx 112 m
Exercice n°5

A l’occasion du championnat d’Europe des nations en juin 2004, l’entraînement de l’équipe de France Jacques Santini décide de placer ses joueurs sur le terrain de la façon suivante :

1°) Placer Patrick Vieira sur le terrain au point V de coordonnées (4;2).
2°) Placer Zinédine Zidane sur le terrain au point Z de coordonnées (6;3).
3°) Placer Thierry Henry sur le terrain au point H, H étant l’image de V par symétrie de centre Z.
4°) Compléter les coordonnées de Thierry Henry, c’est à dire du point H. H(8;4)
5°) Placer Lilian Thuram sur le terrain au point T, T étant le projeté orthogonal du point V sur l’axe des abscisses.
6°) Compléter les coordonnées de Lilian Thuram, c’est à dire du point T. T(4;0)

Exercice n°6 :

Michel Platini est le plus grand marqueur de buts en équipe de France avec 41 buts marqués. Le tableau suivant présente la façon dont il a marqué ces buts.

Pied droit 10
Pied gauche 8
Tête 7
Coup-franc 11
Pénalty 5

1°) Quel pourcentage de buts a été marqué de la tête ? (arrondir à l’unité)

\dfrac{7}{41}\times 100 \approx 17. Donc le pourcentage de buts marqués de la tête est d’environ 17 %.

2°) Quel est le type de buts dont l’effectif est le plus important ?

L’effectif le plus important est le coup-franc.

3°) Dans l’objectif de tracer le diagramme circulaire des buts marqués par Michel Platini, recopier puis compléter le tableau suivant :

Effectifs Fréquence (arrondir à 0,01) Angle correspondant en ° (arrondir à 0,1)
Pied droit 10 0,24 87,8
Pied gauche 8 0,20 72
Tête 7 0,17 61,5
Coup-franc 11 0,27 96,6
Pénalty 5 0,12 43,9
41 1 360

4°) A partir du tableau précédent, construire un diagramme circulaire.

diagramme circulaire

diagramme circulaire

Exercice n°7 :

Lors des éliminatoires du championnat d’Europe des nations, l’équipe de France a joué 8 matchs. Le nombre de buts marqués par l’équipe de France durant ces matchs est donné dans le tableau suivant :

Nombre de buts (x_{i})
0 1 2 3 4 5 6
Nombre de matchs (n_{i})
0
0
3
1
1
2
1
Effectif total N = 8
Produit (n_{i}\times x_{i})
0
0
6
3
4
10
6
Total 29

1°) Compléter le tableau suivant après l’avoir reproduit.
2°) Calculer le nombre moyen de buts marqués par matchs (arrondir à 0,1).

\tilde{x}=\dfrac{29}{8} \approx 3,6

Troisième partie (problèmes).


Exercice n°7 :

M. Martin habite Petitville. M. Grand habite à une distance de 900 km de Petitville. A huit heures du matin, les deux personnes commencent à rouler l’une vers l’autre :
M. Martin quitte Petitville et roule à 60 km/h.
M. Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h.
On note x, le temps écoulé depuis huit heure du matin (x est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heures du matin, x=0. Après avoir roulé une heure, c’est à dire quand x=1, M.Martin est à 60 km de Petitville et M. Gaspard est lui à 810 km de Petitville.
1°) A quel distance de Petitville, M. Martin se situe-t-il :

quand x=4 ? quand x=10 ?

Si x=4, alors d=v\times t=60\times 4 = 240. M. Martin est à 240 km de Petitville.

Si x=10, alors d=v\times t=60\times 10 = 600. M. Martin est à 600 km de Petitville.

2°) A quel distance de Petitville, M.Gaspard se situe-t-il :

quand x=4 ? quand x=10 ?

Si x=4, alors d=v\times t=90\times 4 = 360. M. Gaspard est à 900-360 = 540 km de Petitville.

Si x=10, alors d=v\times t=90\times 10 = 900. M. Gaspard est à Petitville.

3°) Exprimer en fonction de x la distance qui sépare M. Martin puis M. Gaspard de Petitville.

Soit d_{Martin} la distance qui sépare M. Martin de Petitville et d_{Gaspard} celle qui sépare M. Gaspard de Petitville.

alors d_{Martin}=60x et d_{Gaspard}=900-90x

4°) On donne les fonctions suivantes f définie par : f:x \longmapsto 60x et g définie par : g:x \longmapsto 900-90x. Recopier les tableaux suivants et les compléter :

x
0
1
4
10
f(x)
0
60
240
600

et

x
0
1
4
10
g(x)
900
810
360
0

5°) Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant : en abscisse, 1 cm pour une durée d’une heure; en ordonnée, 1 cm pour une distance de 100 km.

représentation graphique

représentation graphique

6°) A l’aide d’une lecture graphique, déterminer (Faire apparaitre les pointillés nécessaires) :
a. La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent.

Par lecture graphique, on constate que les deux personnes se croisent au bout de 6 h.

b. A quelle distance de Petitville se croisent-ils ?

Par lecture graphique, on constate que les deux personnes se croisent à environ 360 km de Petitville.

7°) a. Retrouver le résultat de la question 6. a. en résolvant une équation.

On cherche, les coordonnées d’un point tel que : f(x)=g(x).

60x=900-90x 150x=900 x=\dfrac{900}{150}=6

Donc les deux droites se croisent à 6 h.

b. Retrouver le résultat de la question 6. b. par le calcul.

Si x=6 alors f(6)=60\times 6=360

Donc les deux personnes se croisent à 360 km de Petitville.


 

Ce contenu a été publié dans Angles, Calcul littéral, Correction de devoir, Démonstration, Entraînement, Equation, Fractions, Nombres relatifs, Priorités de calcul, Pythagore, Racine carrée, Révision, Statistiques, Thalès. Vous pouvez le mettre en favoris avec ce permalien.

Laisser un commentaire

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.