Correction du sujet de brevet n°2

Voici la correction d’un sujet de brevet des collèges de Juin 2004 (retour au sujet).


Première partie (activités numériques).


Exercice n°1 (4,5 points, environ 15 minutes) :
1°) On donne A=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7} : \dfrac{5}{24}
Calculer A, et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
A=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7} : \dfrac{5}{24}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7} \times \dfrac{24}{5}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3\times 5\times 24}{7\times 5}
A=\dfrac{3}{7}-\dfrac{72}{7}=\dfrac{3-72}{7}=\dfrac{-69}{7}
2°) On donne B=\sqrt{300}-4\sqrt{27}+6\sqrt{3};
C=(5+\sqrt{3})^{2}
D=(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})
a. Écrire  B sous la forme b \sqrt{3}, où b est un nombre entier.
 
B=\sqrt{300}-4\sqrt{27}+6\sqrt{3}=\sqrt{100\times3}-4\sqrt{9\times3}+6\sqrt{3}
 
B=\sqrt{100}\times\sqrt{3}-4\sqrt{9}\times\sqrt{3}+6\sqrt{3}=10\sqrt{3}-4\times 3\times\sqrt{3}+6\sqrt{3}
 
B=10\sqrt{3}-12\sqrt{3}+6\sqrt{3}=4\sqrt{3}
 
b. Écrire  C sous la forme e+f \sqrt{3}, où e et f sont des nombres entiers.
 
C=(5+\sqrt{3})^{2}=5^{2}+2\times 5 \times \sqrt{3}+\sqrt{3}^{2}=28+10\sqrt{3}
 
c. Monter que D est un nombre entier.
 
D=(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})=\sqrt{2}^{2}-\sqrt{5}^{2}=2-5=-3
 
Exercice n°2 (4,5 points, environ 15 minutes) :
 
On considère l’expression E=(2x-3)(x+2)-5(2x-3)
 
1°) Développer et réduire l’expression E
 
E=(2x-3)(x+2)-5(2x-3)=2x\times x+2x \times 2 -3\times x -3\times 2- 5\times 2x -5 \times (-3)
 
E=2x^{2}+4x -3x -6- 10x +15=2x^{2}-9x+9
 
2°) Factoriser E.
 
E=(2x-3)(x+2)-5(2x-3)=(2x-3)[(x+2)-5]=(2x-3)(x-3)
3°) Calculer E pour x=-2
 
Si x=-2 alors E=(2\times (-2)-3)(-2+2)-5(2\times(-2)-3)=0-5\times(-7)=35
4°) Résoudre l’équation (2x-3)(x-3)=0
 
Ce produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.
 
Soit 2x-3=0 c’est à dire x=\dfrac{3}{2}=1,5
 
Soit x-3=0 c’est à dire x=3
 
Les solutions de cette équation sont 1,5 et 3.
 
Exercice n°3 (3,5 points, environ 10 minutes) :

Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l’enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) :

Age
[0;10[
[10;20[
[20;30[
[30;40[
[40;50[
[50;60[
Centre de classe
5
15 25 35 45 55
Effectif
27
45
48
39
42
36
Age
[60;70[
[70;80[
[80;90[
Centre de classe
65 75 85
Effectif
33
24
6

1°) Compléter ce tableau en indiquant le centre de chaque classe.
 
2°) Calculer l’âge moyen des skieurs fréquentant cette station.
 
m =\dfrac{5\times 27+ 15\times 45+ … + 75\times 24+85\times6}{300}=39
 
L’âge moyen des skieurs est de 39 ans.
 
3°) Quelle est la fréquence, en pourcentage, des skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ?
 
f =\dfrac{27+45}{300}\times 100=24
 
La fréquence des skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans est de 24 %.
 


Deuxième partie (activités géométriques).


 
Exercice n°4 (6 points, 20 minutes)
 
Les droites (BE) et (FC) sont parallèles, AB = 6 cm, AC = 15 cm et AF = 12 cm.
 

 
1°) Calculer la longueur AE.
 
Dans le triangle AFK, E appartient à [AF], B appartient à [AC], et (BE)//(FC),
 
d’après le théorème de Thalès,
 
\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EB}{FC}
 
\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC} donne \dfrac{AE}{12}=\dfrac{6}{15} donc AE=\dfrac{6\times 12}{15}=4,8 cm.
 
2°) Sachant que AK = 30 cm, démontrer que les droites (BF) et (CK) sont parallèles.
 
Dans le triangle AKC, les points A; F et K sont alignés dans le même ordre que les points A; B et C, de plus :
 
\dfrac{AF}{AK}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2\times 2\times2 \times 3}{3 \times 2\times 5}=\dfrac{2}{5}
 
et
 
\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{3\times 2}{3 \times 5}=\dfrac{2}{5}
 
Donc
 
\dfrac{AF}{AK}=\dfrac{AB}{AC}, d’après la réciproque du théorème de Thalès, (BF)//(CK).
 
3°) Sachant que FC = 9 cm, démontrer que le triangle AFC est rectangle en F.
 
Dans le triangle AFC,
 
d’une part AC^{2}=15^{2}=225, et d’autre part FC^{2}+AF^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225
 
Donc AC^{2}=FC^{2}+AF^{2}, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFC est rectangle en F.
 
Exercice n°5 (6 points, 20 minutes)
Un avion de tourisme est en phase d’approche de l’aérodrome de Megenta, suivant le trajet AC.
 

 
On donne : AB = 1058 m (altitude de l’avion), ?\widehat{ACB}=30°
 
1°) Démontrer que la longueur AC qu’il reste à parcourir à l’avion pour rejoindre le point d’atterrissage C est égale à 2 116 m.
 
Dans le triangle ABC rectangle en B,
 
sin (\widehat{BCA})=\dfrac{AB}{AC}
 
donc AC = \dfrac{AB}{sin (\widehat{BCA})}=\dfrac{1058}{sin (30}=2116 m
 
2°) Sachant que cet avion se déplace de A vers C avec une vitesse constante v de 92 mètres par seconde, calculer le temps qu’il mettra pour parcourir la distance AC.
 
Si la vitesse est constante, c’est à dire si le mouvement est uniforme, alors v=\dfrac{distance}{temps}, d’ou temps=\dfrac{distance}{v}=\dfrac{2116}{92}=23 secondes
 
3°) Trouver, en mètre (arrondie au dixième), la distance CD nécessaire à l’arrêt de l’appareil; cette distance se calcule grâce à la formule suivante : CD=\dfrac{2v^{2}+6600}{25}v est la vitesse en mètre par seconde de l’appareil lorsqu’il touche le sol en C.
 
CD=\dfrac{2v^{2}+6600}{25}=\dfrac{2\times 92^{2}+6600}{25}\approx 941,1 m
 


Troisième partie (problèmes).


Exercice n°7 (12 points, environ 40 minutes) :
On donne les figures suivantes :

 
1°) Exprimer en fonction de x l’aire A_{ABCD} du rectangle ABCD.
 
A_{ABCD}=4 \times x = 4x
 
2°) Exprimer en fonction de x l’aire A_{EFGH} du quadrilatère EFGH.
 
A_{EFGH}=\dfrac{(x+x+3) \times 2}{2} = 2x+3
 
3°) Dans un repère orthonormal (O,I,J) d’unités 1 cm sur chaque axe et dont l’origine O est en bas et à gauche, tracer en justifiant :
La représentation graphique (d) de la fonction f définie par : x \longmapsto 4x.
La représentation graphique (d’) de la fonction g définie par : x \longmapsto 2x+3.


 
4°) a. Calculer l’aire du rectangle ABCD pour x=3.
 
Si x=3, alors A_{ABCD}=4\times 3= 12 cm^{2}
 
b. Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires)
 
Sur le graphique, à partir du point placé sur l’axe des abscisses à la graduation 3, il faut suivre les segments verts, qui donnent un point sur l’axe des ordonnées à la graduation 12.
 
5°) a. Calculer la valeur de x pour que l’aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm^{2}.
 
A_{EFGH}=15 cm^{2} donne 2x+3=15
 
2x=12
 
x=6.
 
Donc A_{EFGH}=15 cm^{2} si x=6 cm
 
b. Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires)
 
Sur le graphique, à partir du point sur l’axe des ordonnées à la graduation 15, il faut suivre les segments rouges, qui donnent un point sur l’axe des abscisses à la graduation 6.
 
6°) a. Résoudre graphiquement l’équation : 4x=2x+3
 
La solution graphique de cette équation est donnée par l’abscisse du point d’intersection des droites (d) et (d’). Ici la solution semble être 1,5.
 
b. Retrouver ce résultat en résolvant l’équation 4x=2x+3.
 
4x-2x=2x+3-2x
 
2x=3
 
x=\dfrac{3}{2}=1,5
 
La solution de cette équation est 1,5
 
c. Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ?
 
4x=2x+3 lorsque l’aire du rectangle est la même que celle du quadrilatère.
 


 

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