Calculer la racine carrée d’un nombre.

Il existe plusieurs méthodes pour calculer la racine carrée d’un nombre. En voici une qui utilise les fractions continues. On veut calculer la racine carrée de 19 par exemple. C’est a dire que l’on cherche un nombre dont le carré donne 19 😉

x^{2}=19
 
x^{2}-19=0

puis on transforme 19 pour faire apparaître le carré parfait le plus proche.

x^{2}-19+3=0+3
 
x^{2}-16=3
 
x^{2}-4^{2}=3

On factorise le côté gauche de cette équation avec l’égalité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(x-4)(x+4)=3

Comme x est positif, on peut diviser par (x+4)

x-4=\dfrac{3}{x+4}
 
x=4+\dfrac{3}{x+4}

On remplace le x de la partie droite par 4+\dfrac{3}{x+4}, ce qui donne :

x=4+\dfrac{3}{4+\dfrac{3}{x+4}+4}
 
x=4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{x+4}}

On remplace le x de la partie droite par 4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{x+4}}, ce qui donne :

x=4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{x+4}}+4}}
 
x=4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{x+4}}}}

En négligeant \dfrac{3}{x+4}, toujours inférieur à \dfrac{3}{8}, on peut écrire :
 
x\leqslant4+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{8+\dfrac{3}{8}}}}
 
d’où x\leqslant \dfrac{20404}{4681}, c’est à dire d’où x\leqslant 4,358977

Pouvez-vous trouver une valeur approchée de la racine carrée de 13 avec cette même méthode ?

Vous pouvez mettre vos détails et résultats en commentaire à la suite de cet article.

Pour écrire des formules mathématiques dans les commentaires voir ici

 

Ce contenu a été publié dans Méthode, avec comme mot(s)-clé(s) , , . Vous pouvez le mettre en favoris avec ce permalien.

Laisser un commentaire

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.